对称化 Mordell-Tornheim 齐次函数的评估

本文评估了定义为\n\begin{equation*}\n\overline{\zeta}_n(w_1, \ldots, w_n) = \sum_{\substack{a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}^* \\ a_1 + \ldots + a_n = 0}} \frac{1}{\left| a_1^{w_1} \cdots a_n^{w_n} \right|}\n\end{equation*}\n的对称化 Mordell-Tornheim 齐次函数，其中 $n \ge 1$ 为正整数，表示深度，$w_1, \ldots, w_n \ge 1$ 为正整数，表示函数的权重 $w = w_1 + \ldots + w_n$。与限制于正象限（超立体）上的经典 Mordell-Tornheim 齐次函数 $\zeta_{MT,n}(w_1, \ldots, w_n; w_{n+1})$ 相比，对称化函数跨越整个 $(n-1)$ 维超平面。我们证明当深度和权重相等时，即对于 $\overline{\zeta}_n(1, \ldots, 1)$，其具有极其简单的表示形式：\n\begin{equation*}\n\overline{\zeta}_n(1, \ldots, 1) = B_n(f^{(1)}(0), \ldots, f^{(n)}(0))\n\end{equation*}\n其中 $B_n$ 为 $n$ 次完全指数贝尔多项式，$f^{(n)}(0)$ 为函数 $f(x) = \ln \binom{-2x}{-x}$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 次导数。此外，我们证明该值可表示为如下系数为正整数的多项式对齐函数值的数值：\n\begin{equation*}\n\overline{\zeta}_n(1, \ldots, 1) = B_n(0, (2^2 - 2) \Gamma(2) \zeta(2), \ldots, (2^n - 2) \Gamma(n) \zeta(n))\n\end{equation*}\n或等价地，基于 eta 函数：\n\begin{equation*}\n\overline{\zeta}_n(1, \ldots, 1) = B_n(0, 2^2 \Gamma(2) \eta(2), \ldots, 2^n \Gamma(n) \eta(n))\n\end{equation*}\n附录中提供了深度 $1 \le n \le 10$ 的显式值列表。