从 Ingham--Jessen 性质到混合均值不等式

对于每个对称均值 $\mathscr{M} \colon \bigcup_{n=1}^\infty I^n \to I$(其中 $I$ 为一个区间)以及一个非零函数 $W \colon \{1,\dots,n\} \to \mathbb{N} \cup \{0\}$,通过 $$\mathscr{M}_W(x):=\mathscr{M}\big(\underbrace{x_1,\dots,x_1}_{W(1)\text{-times}},\dots,\underbrace{x_n,\dots,x_n}_{W(n)\text{-times}}\big) \text{ for }x=(x_1,\dots,x_n) \in I^n.$$ 定义一个 $n$ 元均值。给定两个满足所谓 Ingham--Jessen 不等式的对称均值 $\mathscr{M},\,\mathscr{N} \colon \bigcup_{n=1}^\infty I^n \to I$ 以及一些非零函数 $F_1,\dots,F_k$, $G_1,\dots,G_l \colon \{1,\dots,n\} \to \mathbb{N} \cup \{0\}$,我们建立了形如 $$\mathscr{N} \big( \mathscr{M}_{F_1}(x),\dots,\mathscr{M}_{F_k}(x)\big) \le \mathscr{M} \big( \mathscr{N}_{G_1}(x),\dots,\mathscr{N}_{G_l}(x)\big) \qquad(x \in I^n).$$ 的不等式成立的充分条件。我们的结果对 Kedlaya 于 1994 年以及 Leng--Si--Zhu 于 2004 年所得的著名不等式给出了统一的处理方法,并且也给出了新的混合均值不等式族。