$h$-MN-凸性的一些性质与 Jensen 型不等式

在本工作中，我们通过推广 ${\rm{MN}}$-凸性的概念并将其与 $h$-凸性相结合，引入了 $h$-${\rm{MN}}$-凸函数类。具体而言，设 $I,J$ 为 $(0,\infty)$ 的两个子区间，使得 $(0,1)\subseteq J$ 且 $[a,b]\subseteq I$。考虑一个非负函数 $h: (0,\infty)\to (0,\infty)$，并令 ${\rm{M}}:[0,1]\to [a,b]$ $(0<a<b)$ 为一个由 ${\rm{{\rm{M}}}}(t)={\rm{{\rm{M}}}}( {h(t);a,b} )$ 给出的均值函数；其中 ${\rm{{\rm{M}}}}( {h(t);a,b} )$ 意指以下函数之一：$A_h( {a,b} ):=h( {1 - t} )a + h(t) b$，$G_h( {a,b} )=a^{h(1-t)} b^{h(t)}$ 和 $H_h( {a,b} ):=\frac{ab}{h(t) a + h( {1 - t} )b} = \frac{1}{A_h( {\frac{1}{a},\frac{1}{b}} )}$；且具有性质 ${\rm{{\rm{M}}}}( {h(0);a,b} )=a$ 和 ${\rm{{\rm{M}}}}( {h(1);a,b} )=b$。若不等式\n\begin{align*} f \left({\rm{M}}(t;x, y)\right) \le (\ge) \, {\rm{N}}(h(t);f (x), f (y)), \end{align*}\n对所有 $x,y \in I$ 和 $t\in [0,1]$ 成立，则称函数 $f : I \to (0,\infty)$ 为 $h$-${\rm{{\rm{MN}}}}$-凸 (凹) 函数，其中 M 和 N 为两个均值函数。以此方式，建立了九类 $h$-${\rm{MN}}$-凸函数，并探讨和研究了它们的一些分析性质。给出了每种类型的刻画。证明了各种 Jensen 型不等式及其逆不等式。