Étale同伦类型与双单纯超覆盖

研究了一个与带基点的局部纤维连通单纯层$(X, z)$（定义在带基点的局部连通小Grothendieck景$(\mc{C}, x)$上）相关联的étale同伦类型$T(X, z)$。证明了该类型$T(X, z)$可特化为带基点连通概形$X$的Artin-Mazur étale同伦类型，在带基点局部弱等价下具有pro-同构不变性（但早期证明见\cite{Schmidt1}），并且它恢复了$X$的常系数阿贝尔和非阿贝尔层上同调。将该类型$T(X, z)$与通过$x = (X, z)$的带基点双单纯超覆盖的对角线构造的étale同伦类型$T_b(X, z)$进行了比较，基于相关的上循环范畴，证明了对于任何局部纤维目标对象$y$，在道路分量层面存在双射$\pi_0 H_{\hyp}(x, y) \cong \pi_0 H_{\bihyp}(x, y)$。这迅速导出在$\Ho{\sSet_\ast}$中的自然pro-同构$T(X, z) \cong T_b(X, z)$。由此立即确立了$T_b(X, z)$在带基点局部弱等价下具有pro-同构不变性。这些类型的无基点版本也有类似结论。