Eta积、Eichler积分与8级Apery极限
数论
2026-04-27 v2
摘要
我们给出一种独立的Eta积推导方法，用于证明8级Apery极限 lim B_n^{(8)}/s_n = (7/32) zeta(3)，其中 s_n = sum_{k=0}^n C(n,k)^2 C(2k,n)^2，B_n^{(8)} 是满足相同三次递推关系的有理伴随序列，初始值为 B_0^{(8)}=0, B_1^{(8)}=1。该数值由 Almkvist-van Straten-Zudilin 通过数值识别，后被 Golyshev 通过 Beukers 的 Atkin-Lehner 模ular 方法证明；随后 Golyshev-Kerr-Sasaki 在动机/正规函数框架中重新计算了该值。已知的连分数 PCF((2n+1)(3n^2+3n+1),-n^6) = 8/(7 zeta(3)) 最早出现在 Batut-Olivier，后被 Ramanujan Machine 重新发现为猜想 Z1。本文的贡献在于对已知8级Apery极限在Eta积归一化下的显式重新推导。我们阐述了Wronskian恒等式的Eta积验证、Eichler积分的归一化、Fricke周期多项式的残留计算以及初等连续数转换。
引用
@article{arxiv.2604.14219,
title = {Eta-products, Eichler integrals, and the level-8 Apery limit},
author = {Alex Shvets},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.14219},
year = {2026}
}
备注
17 pages