非齐次谱下 $\mathbb{N}$ 的本质 $\mathcal{F}$-集

令 $\alpha>0$ 且 $0<\gamma<1$。定义 $g_{\alpha,\gamma}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ 为 $g_{\alpha,\gamma}\left(n\right)=\lfloor\alpha n+\gamma\rfloor$。集合 $\left\{ g_{\alpha,\gamma}\left(n\right):n\in\mathbb{N}\right\}$ 称为 $\alpha$ 和 $\gamma$ 的非齐次谱。我们称映射 $g_{\alpha,\gamma}$ 为非齐次谱。在 \cite{BHK} 中，Bergelson、Hindman 和 Kra 证明了若 $A$ 是一个 $IP$-集、中心集、$IP^{\star}$-集或中心$^{\star}$-集，则 $g_{\alpha,\gamma}\left[A\right]$ 是对应的对象。Hindman 和 Johnsons 将这一结果推广到包括若干其它的大性概念：$C$-集、$J$-集、强中心集、分段 syndetic 集、$AP$-集、syndetic 集、$C^{\star}$-集、强中心$^{\star}$-集。在 \cite{DHS} 中，De、Hindman 和 Strauss 引入了 $C$-集和 $J$-集，并证明了 $C$-集满足中心集定理的结论。在撰写本文时，我们深受 $C$-集是本质 $\mathcal{J}$-集这一事实的激励。在本文中，我们证明了关于移位不变 $\mathcal{F}$-集的本质 $\mathcal{F}$-集的非齐次谱的一些新结果。我们对族 $\mathcal{HSD}=\left\{ A\subseteq\mathbb{N}:\sum_{n\in A}\frac{1}{n}=\infty\right\}$ 有特别兴趣，因为该族与著名的 Erd\H{o}s 倒数和猜想直接相关，并且作为推论我们得到 $g_{\alpha,\gamma}\left[\mathbb{P}\right]\in\mathcal{HSD}$，其中 $\mathbb{P}$ 是 $\mathbb{N}$ 中素数的集合。在本文中，我们处处使用一些初等技巧以及离散半群的 Stone-\v{C}ech 紧化的代数。