极化阿贝尔簇自同态的固有维数

设 $f$ 为阿贝尔簇 $A$ 的一个极化自同态。Kollár 和 Zhuang 询问固有维数 $\mathrm{ed}(f)$ 是否等于 $\dim(A)$。我们对此问题给出了反例。相反，我们证明，在假设 $A$ 的每个子环面在平移意义下均为 $f$-预周期（该条件源自动力学 Manin-Mumford 猜想）的条件下，存在整数 $s>0$ 使得 $\mathrm{ed}(f^s)=\dim(A)$。我们的例子也展示了该假设和迭代两者的必要性。此外，当 $A$ 为简单阿贝尔曲面且 $f$ 非 2-极化时，我们对 Kollár 和 Zhuang 的原始问题给出了肯定回答。