史瓦西时空局域静态坐标中逃逸、束缚与俘获测地线

根据类时粒子在局域静态观测者参考系中的起始半径 $r$、速度 $v$ 以及相对于径向向外方向的夹角 $\alpha$，分析了史瓦西时空中的经典类时粒子测地线。利用有效势的三种情形，求解了参数空间 $(r,~v,~\alpha)$ 中逃逸、束缚与俘获轨道的区域。发现一般而言，对于小于 $4M$ 的半径或大于 $c/\sqrt{2}$ 的速度，将不存在束缚轨道。而对于固定的大于 $4M$ 的半径（或小于 $c/\sqrt{2}$ 的速度），当速度（或半径）从零（或 $2M$）增加时，粒子总是被俘获，直到一个临界值 $v_{\mathrm{crit1}}$（或 $r_{\mathrm{crit1}}$），此时在 $\alpha=\pi/2$ 附近、介于双锥结构之间开始出现束缚轨道。当速度（或半径）增加到另一临界值 $v_{\mathrm{crit2}}$（或 $r_{\mathrm{crit2}}$）时，外锥中的束缚方向与逃逸方向变为逃逸方向，仅留下内锥分隔俘获与束缚方向。该锥的角随速度（或半径）增至其渐近值而增大至其渐近值。简要讨论了这些结果在由大质量粒子形成的黑洞阴影、黑洞吸积以及航天器导航中的意义。