流形到欧氏空间的等变嵌入

设有限群 $G$ 作用于流形 $M$。由 Mostow（亦见 Palais）的定理，对某个 $m$，存在 $M$ 到 $m$ 维欧氏空间 $\RR^{m}$ 的 $G$-等变嵌入。我们关注此类 $m$ 的一些显式界。首先我们给出一个上界：存在 $M$ 到 $\RR^{d|G|+1}$ 的 $G$-等变嵌入，其中 $|G|$ 为 $G$ 的阶且 $M$ 可嵌入 $\RR^d$。接着我们对有限循环群作用 $G$ 给出一个下界：若存在 $l$ 个长度两两互素且大于 $1$ 的 $G$-轨道的点，且存在 $M$ 到 $\RR^{m}$ 的 $G$-等变嵌入，则 $m\ge 2l$。给出了一些对曲面的应用。