秩度量码与矩阵码的等价性及 Gabidulin 码的自同构群

对于蜂窝网络、点对点网络和传感器网络等日益增多的应用而言，通过网络高效无误地传输数据至关重要。为此，K"{o}tter 和 Kschischang 提出在网络编码背景下使用子空间码来提供纠错功能。子空间码的主要构造方法是提升秩度量码或矩阵码，这一过程保留了底层码的结构和距离特性。因此，为了表征这些子空间码的结构和纠错能力，对底层秩度量码和矩阵码进行此类表征具有重要价值。本文通过一个基于结构和距离特性对秩度量码和矩阵码进行分类的框架，为此类分析奠定了基础。为了实现这一分类，我们将 Berger 关于秩度量码等价性的工作扩展到定义矩阵码的等价性概念，并表征了保持这种等价性的映射集合的群结构。随后，我们比较了这两种相关码类型的等价性概念，并表明矩阵等价性严格比秩度量等价性更通用。最后，我们表征了固定一类称为 Gabidulin 码的著名秩度量码的等价映射集合。特别是，我们完整表征了 Gabidulin 码的秩度量自同构群，修正了 Berger 的工作，并对由 Gabidulin 码产生的扩展矩阵码的矩阵自同构群进行了部分表征。