广义 Gabidulin 码与 Cauchy 矩阵的 $q$ 类比的系统编码器

我们刻画了广义 Gabidulin 码的标准形式生成矩阵。我们对该矩阵非系统部分得到的参数化与广义 Cauchy 矩阵的 $q$ 类比一致，从而导出了 $q$-Cauchy 矩阵的定义。这些矩阵可以非常方便地表示，且其表示允许定义广义 Gabidulin 码中生成矩阵为结构化矩阵的新颖有趣子族。特别地，作为一个应用，我们构造了生成矩阵为单位块与 Toeplitz/Hankel 矩阵拼接的 Gabidulin 码。此外，我们的结果允许给出一个高效的新判据，以验证维数为 $k$、长度为 $n$ 的秩度量码是否为广义 Gabidulin 码。该判据仅基于一个矩阵秩的计算以及两组元素线性独立性的验证，且需要 $\mathcal O(m\cdot F(k,n))$ 次域运算，其中 $F(k,n)$ 是计算 $k \times n$ 矩阵简化行阶梯形的代价。而且，我们还给出了一般 MRD 码标准形式生成矩阵的刻画。