Raney 密度的平衡问题

Raney 数是一类推广 Fuss--Catalan 数的组合数。它们由一对正实数 $(p,r)$ 索引，其中 $p>1$ 且 $0 < r \le p$，并构成概率密度函数的矩。对于某些 $(p,r)$，后者可解释为某些随机矩阵系综平方奇异值的密度，在此背景下，最近提出了表征 $(p,r) = (\theta +1,1)$ 和 $(\theta/2+1,1/2)$ 的 Raney 密度的平衡问题。利用两种不同的技术——一种基于求解积分方程的 Wiener--Hopf 方法，另一种基于对 Green 函数所满足代数方程的分析——我们确立了对一般 $\theta > 0$ 的平衡问题的有效性，并同样利用这两种方法确定了 $(p,r) = (\theta/q+1,1/q)$（其中 $\theta > 0$ 且 $q \in \mathbb Z^+$）的平衡问题。Wiener--Hopf 方法被用于将后者扩展至参数 $(p,r) = (\theta/q + 1, m+ 1/q)$（其中 $m$ 为非负整数），并识别出一族矩由特定二项式系数给出的密度的平衡问题。