Raney 分布的密度函数

我们证明：若 $p\ge 1$ 且 $0< r\le p$，则序列 $\binom{mp+r}{m}\frac{r}{mp+r}$（$m=0,1,2,...$）是正定的；更确切地说，它是支撑集包含于 $[0,+\infty)$ 的概率测度 $\mu(p,r)$ 的矩序列。该测度族涵盖了 Marchenko-Pastur 分布的乘法自由幂以及中心位于 $x=2$ 的 Wigner 半圆分布。我们表明，若 $p>1$ 为有理数且 $0<r\le p$，则 $\mu(p,r)$ 绝对连续，其密度 $W_{p,r}(x)$ 可用 Meijer G 函数和广义超几何函数表示。在某些情形下（包括 Marchenko-Pastur 测度的乘法自由平方和乘法自由平方根），$W_{p,r}(x)$ 可化为初等函数。