广义 Catalan 数与平面嵌入的计数

Raney 数 $R_{p,r}(n)$ 是 Catalan 数的双参数推广，由 Raney 在研究函数复合模式时引入 \cite{Raney}。我们针对所有 Raney 数给出了一个新的组合解释，将其表述为特定树集合的平面嵌入；通过特例 $R_{p,1}(n) =_{p} c_n$，该构造恢复了关于 $p$ 叉树的 $p$-Catalan 数的通常解释。我们的技术导出了若干涉及 Raney 数与有序分拆的组合恒等式。随后，我们给出了特定 Raney 数的额外组合解释，包括将 $R_{p^2,p}(n)$ 识别为满足“源点或汇点性质”的有向树。最后，我们评论了这些结果在缺乏内部圈的连通（非椭圆）$A_2$ webs 计数中的应用。