$k$-叉树的公式细化与 Gould-Vandermonde 卷积

在本文中,我们给出了一类带色 $k$-叉树上的对合,它提供了涉及广义 Catalan 数 $C_{k,\gamma}(n)=\frac{\gamma}{k n+\gamma}{k n+\gamma\choose n}$ 的一个组合和的组合证明。由该组合和,我们细化了 $k$-叉树的公式,并得到了广义 Catalan 数生成函数的隐式公式,它显然蕴含了由 Gould 推广的 Vandermonde 型卷积。此外,通过对合的一个推广,我们还得到了涉及 Catalan 数向量推广的一个组合和。