具有主要和次要智能体的非线性随机动力系统的 $\epsilon$-Nash 平均场博弈论

本文研究了一个涉及非线性随机动力系统的大种群动态博弈，其中包含以下混合类型的智能体：(i) 一个主要智能体，以及 (ii) $N$ 个次要智能体的种群，其中 $N$ 非常大。主要和次要（MM）智能体通过以下方式耦合：(i) 它们各自的非线性随机动力学，以及 (ii) 它们各自的有限时间 horizon 非线性成本函数。该问题通过所谓的 $\epsilon$-Nash 平均场博弈（$\epsilon$-NMFG）理论来处理。混合智能体 MFG 问题的一个显著特征是，即使在渐近情况下（当种群规模 $N$ 趋近于无穷大时），主要智能体的噪声过程也会导致次要智能体平均场行为的随机波动。为此，整体渐近（$N \rightarrow \infty$）平均场博弈问题被分解为：(i) 两个具有随机系数过程的非标准随机最优控制问题，其产生由（时间反向）随机 Hamilton-Jacobi-Bellman (SHJB) 方程的解确定的前向适应随机最佳响应控制过程，以及 (ii) 两个随机系数 McKean-Vlasov (SMV) 方程，用于刻画主要智能体的状态和决定次要智能体平均场行为的测度。通过在随机概率测度的 Wasserstein 空间中的不动点论证，建立了随机平均场博弈（SMFG）系统（SHJB 和 SMV 方程）解的存在性和唯一性。在次要智能体仅通过其成本函数与主要智能体耦合的情况下，证明了对于有限 $N$ 种群系统，SMFG 最佳响应具有 $\epsilon_N$-Nash 均衡性质，其中 $\epsilon_N=O(1/\sqrt N)$。