Hilbert 空间值 LQ 平均场博弈：无穷维分析

本文对 Hilbert 空间中的线性二次 (LQ) 平均场博弈 (MFGs) 进行了全面研究，将经典的 LQ MFG 理论推广到涉及 $N$ 个智能体且其动力学由无穷维随机方程支配的场景。在此框架中，每个智能体的状态过程和控制过程均取值于可分 Hilbert 空间。所有智能体通过出现在其线性动力学和二次成本泛函中的群体平均状态进行耦合。具体而言，每个智能体的动力学包含一个无穷维噪声，即 $Q$-Wiener 过程，以及一个无界算子。每个智能体的扩散系数是随机的，涉及状态、控制和平均状态过程。我们首先研究由 $N$ 个耦合的半线性无穷维随机发展方程构成的系统的适定性，从而建立 Hilbert 空间中 MFGs 的基础。然后，我们专门研究上述 $N$ 玩家 LQ 博弈，并探讨当智能体数量 $N$ 趋于无穷大时的渐近行为。我们发展了 Nash 确定性等价原理的无穷维变体，并刻画了极限 MFG 的唯一 Nash 均衡。最后，我们研究了 $N$ 玩家博弈与极限 MFG 之间的联系，证明了经验平均状态收敛于平均场，并且由此产生的极限最佳响应策略构成了 Hilbert 空间中 $N$ 玩家博弈的 $\epsilon$-Nash 均衡。