有限群中不动点的 Engel 沉

对于群 $G$ 中的元素 $g$，Engel 沉是一个子集 $\mathscr{E}(g)$，使得对每个 $x\in G$，所有足够长的交换子 $[x,g,g,\ldots,g]$ 都属于 $\mathscr{E}(g)$。设 $q$ 为素数，$m$ 为正整数，$A$ 为阶 $q^2$ 的初等 Abel 群，且协素数地作用于有限群 $G$。我们证明，若对 $A$ 中每个非平凡元素 $a$ 及每个元素 $g\in C_{G}(a)$，最小 Engel 沉 $\mathscr{E}(g)$ 的基数至多为 $m$，则 $\gamma_\infty(G)$ 的阶仅以 $m$ 为界。此外我们证明，若对每个 $a\in A\setminus \{1\}$ 及每个元素 $g\in C_{G}(a)$，最小 Engel 沉 $\mathscr{E}(g)$ 生成的子群秩至多为 $m$，则 $\gamma_\infty(G)$ 的秩仅以 $m$ 和 $q$ 为界。