在科学机器学习中强制精确物理：图上的数据驱动外微积分
数值分析
2020-12-23 v1 数值分析
数学物理
math.MP
摘要
随着传统机器学习工具日益应用于科学与工程，物理信息方法已成为赋予推断以物理可实现性所必需性质的有效工具。虽有前景，这些方法通常通过惩罚弱式强制物理。为强式强制物理，我们转向支撑组合 Hodge 理论与 PDE 物理兼容离散化的外微积分框架。历史上，这两个领域大体独立，因为图是严格的拓扑对象，缺乏 PDE 离散化根本所需的度量信息。我们提出一种方法，其中缺失的度量信息可从数据学习，使用图作为粗粒度网格代理，从组合 Hodge 理论继承理想的守恒与正合序列结构。所得的数据驱动外微积分（DDEC）可用于提取保持结构的代理模型，并带有良定性数学保证。该方法容许一种 PDE 约束优化训练策略，其保证机器学习模型即使对于训练不佳的模型或小数据情形也以机器精度强制物理。我们针对一类旨在复现椭圆问题非线性扰动的模型给出方法分析，并提供学习代表地下流与电磁学的 系统的例子。
引用
@article{arxiv.2012.11799,
title = {Enforcing exact physics in scientific machine learning: a data-driven exterior calculus on graphs},
author = {Nathaniel Trask and Andy Huang and Xiaozhe Hu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2012.11799},
year = {2020}
}