用保对称迭代算法学习 PDE 的高阶空间离散化
动力系统
2022-04-15 v1
摘要
在宏观网格上对 PDE 进行空间离散化的常用技术包括有限差分、有限元与有限体积法。此类方法通常在子网格场上强加假定的微观结构，因此若无进一步的定制分析，便不适用于具有子网格尺度异质性或非线性的系统。我们提供一种新的代数路径，以原则上精确的方式系统地逼近一类异质非自治反应-平流-扩散 PDE 的空间离散动力学的宏观闭合。该整体离散化方法通过严格理论发展并由计算机代数验证，借助 PDE 非平衡动力学所告知的物理系统性地构造离散宏观模型，从而放宽了关于子网格结构的诸多假设。该构造类似于近期的灰盒机器学习技术：预测由迭代层（如神经网络中）导向，但由 PDE 中所表达的子网格物理（或“数据”）所告知。本文呈现的整体方法论的一项重大进展是子网格场间新颖的元间耦合，其在宏观离散化后保持 PDE 的自伴性，从而维持原系统的谱结构。该整体方法论也涵盖微观异质系统的均匀化，本文以异质一维波与扩散的典范例子予以展示。
引用
@article{arxiv.2204.06743,
title = {Learning high-order spatial discretisations of PDEs with symmetry-preserving iterative algorithms},
author = {J. E. Bunder and A. J. Roberts},
journal= {arXiv preprint arXiv:2204.06743},
year = {2022}
}