面向点云的无网格外微积分：用于可泛化和数据高效物理学习的框架

我们提出了一种面向点云的无网格外微积分 (MEEC)，用于学习点云上结构保持的物理描述，并据此构建 MEEC-Net——一种可跨分辨率、几何形态和物理参数迁移的数据高效替代模型。MEEC 通过一次稀疏 Schur 补求解，为 $\varepsilon$-球图赋予虚拟节点和边缘测度； resulting complex 满足离散守恒条件，端到端可微分于点位置，且无需常规结构保持离散化所需的网格生成步骤，即可直接暴露几何到物理的直接映射。MEEC-Net 在 SO($d$)-不变的局部坐标系中学习未知物理作为共享边缘通量规律，因此同一内核可在特征位于训练范围内的任意点云上生成兼容通量。我们证明了一个解误差界，将离散化误差和核近似误差分为两部分，与问题几何无关，解释了为何仅凭少量示例即可实现迁移。我们展示了单解训练可迁移至未见的几何形态、边界条件和物理参数。在五个标准 PDE 基准测试中，MEEC-Net 在跨分布误差上优于基线神经算子方法一个到两个数量级。在 SimJEB 结构括号基准测试中，它在使用大幅减少训练几何形态数量的同时实现了竞争性误差。