萨凯安三维流形上极小化能量的贝尔特拉米场

我们研究在哪些紧致萨凯安（Sasakian）三维流形上，作为特征值为 2 的贝尔特拉米场的 Reeb 场在保体积微分同胚作用下的伴随轨道中是能量极小化子。贝尔特拉米场的该极小化性质因其与磁弛豫现象及定常欧拉流流体动力学稳定性之联系而相关。我们用 curl 算子的第一个正特征值刻画 Reeb 场为极小化子的萨凯安流形，并证明对于 $a>a_0$（一个依赖于萨凯安结构的常数），流形带常数 $a$ 的 $\mathcal{D}$-齐次形变（仍为萨凯安）的 Reeb 场是能量的不稳定临界点，从而甚至不是局部极小化子。我们也给出 Reeb 场为极小化子的一些萨凯安流形例子，突出加权三维球情形，在其上另一极小化问题（对四次 Skyrme-Faddeev 能量）被证明存在精确解。