直角三角形上 Dirichlet 本征函数的能量分布

本文延续由第一作者在 \cite{Chr-tri} 与 \cite{Chr-simp} 中开启的三角形上本征函数研究。三角形上 Dirichlet 本征函数的 Neumann 数据享有等分布律，即在各边上等分布。该结果的证明异常简洁，仅用到径向向量场与一类 Rellich 型分部积分。该等分布律(包括高维单纯形上)与量子遍历限制所预测的一致。然而，Neumann 数据在边的子集上的分布尚不明了，且初等方法似乎无法提供足够信息以得出结论。在本短文中，我们首先表明一个‘显然的’猜想即便对最简单的直角等腰三角形也借助傅里叶级数失效。随后我们利用 Marklof-Rudnick \cite{Marklof-Rudnick} 的结果——其中作者证明了本征函数一个密度为 1 的子序列的内部空间等分布律——给出本征函数在内部能量分布的估计。最后我们呈现若干数值计算，表明在近等腰三角形上本征函数的行为相当复杂。