基于（经验）Gramian 的分数布朗运动驱动随机微分方程降维

在本文中，我们研究由 Hurst 参数 $H\in [1/2, 1)$ 的分数布朗运动（fBm）驱动的大规模线性系统。我们按 Young（$H>1/2$）或 Stratonovich（$H=1/2$）意义解释这些方程。尤其分数 Young 微分方程非常适于建模现实世界现象，因其捕捉记忆效应。尽管在高维下求解它们极为复杂，针对 Young 或 Stratonovich 情形的模型降阶方案尚未被充分研究。为弥补此不足，我们分析 underlying 系统基本解的重要特征。我们证明一种弱半群性质，其是研究系统 Gramian 的基础。由所引入的 Gramian 可识别主导子空间，本文亦对此予以证明。对于 $H>1/2$ 的分数驱动，困难在于相应 Gramian 与代数方程无关联，致使计算非常困难。因此，我们进一步提出可从仿真数据学习的经验 Gramian。随后，我们利用主导子空间信息引入基于投影的降阶模型（ROMs）。我们指出，此类投影对 Stratonovich 方程并非总是最优，因为稳定性可能不被保持且误差可能大于预期。因此，针对 $H=1/2$ 提出了一种改进的 ROM。我们通过对一些由分数随机偏微分方程空间离散得到、由 fBm 驱动的大规模随机微分方程进行数值实验来验证我们的技术。总体而言，我们的研究为带分数噪声随机系统的降阶方法的适用性与有效性提供了有益见解，有望助力面向实际应用更高效计算策略的发展。