偶阶 Gromov-Wasserstein 泛函的经验收敛

我们研究了在 $\mathbb{R}^{d_x}$ 和 $\mathbb{R}^{d_y}$ 上紧支撑概率测度之间的 powered 偶阶 Gromov-Wasserstein 泛函的经验插值估计的样本复杂度。对于每一个固定的整数对 $r,k>=1$，我们证明两样本经验误差在 $n^{-2/\max\{\min\{d_x,d_y\},4\}}$ 的速率下界（在临界情况下 $\min\{d_x,d_y\}=4$ 时，仅在对数因子的上限）。这扩展了已知的二次欧几里得上速率到完整的 powered 偶阶泛函族。证明使用了偶阶 GW 泛函的多项式分解，一个归约于紧凑常规最优传输问题族的一般化对偶公式，以及半凹双偶势函数的熵估计。