嵌入函子及其算术性质

本文聚焦于如何在给定根 datum $\Psi$ 下，将环面 $\rT$ 嵌入到概形 $\rS$ 上的约化群 $\rG$ 中。该问题也涉及如何将带对合的 \'etale 代数嵌入到带对合的中心单代数中（参见 \cite{PR1}）。我们通过定义嵌入函子来处理这一问题，并证明该嵌入函子是可表示的，且在 $\rG$ 的自同构群作用下是 $\rS$ 上的左齐性空间。为了固定嵌入函子的一个连通分支，我们定义了 $\Psi$ 相对于 $\rG$ 的定向 $u$。我们证明了定向嵌入函子也是可表示的，并且在 $\rG$ 的伴随作用下是齐性空间。在局部域上，定向 $u$ 和 $\rG$ 的 Tits 指数决定了关于给定根 datum $\Psi$ 将 $\rT$ 嵌入到 $\rG$ 的存在性。我们还利用 Borovoi 论文 \cite{Bo} 中发展的技术，证明了在某些情况下定向嵌入函子满足局部 - 整体原理。实际上，Brauer-Manin 阻碍是定向嵌入函子局部 - 整体原理的唯一阻碍。最后，我们应用定向嵌入函子的结果给出了 Prasad 和 Rapinchuk 定理的另一种证明，并改进了 \cite{PR1} 中的定理 7.3。