s=1 处的椭圆高斯和与 Hecke L-值

证明了椭圆高斯和系数的有理性。以下是我们论证的一个具体案例。设 f(u)=sl((1-i)\varpi u)，其中 sl() 为高斯双纽线正弦函数，\varpi=2.62205... 是椭圆曲线 y^2=x^3-x 的实周期，使得 f(u) 是相对于周期格 Z[i] 的椭圆函数。设 \pi 是 Z[i] 的一个本原素数，满足 norm(\pi)\equiv 13\mod 16。设 S 是由模 \pi 的四次剩余组成的四分之一集。定义 G(\pi):=\sum_{\nu\in S} f(\nu/\pi) 和 \tilde{\pi}:=\prod_{\nu\in S} f(\nu/\pi)。前者 G(\pi) 是椭圆高斯和的典型例子；后者被视为 -\pi 的规范四次根：(\tilde{\pi})^4=-\pi。于是我们有定理：G(\pi)/(\tilde{\pi})^3 是一个有理奇整数。G(\pi) 自然地出现在与模 \pi 的四次剩余特征相关的 Hecke L 函数的中心值中，我们的证明基于 L 的函数方程和根数的显式公式。事实上，后者正是关于四次高斯和的 Cassels-Matthews 公式。