附于 CM 椭圆曲线的 L-级数及其在 s=1 处的 2-adic 与 3-adic 赋值

研究了两类经典复乘椭圆曲线族在数域上的 $L-$级数，给出了它们在 $s=1$ 处的特殊值公式、这些值的界以及达到该界的判别准则。设 $E_1: y^{2}=x^{3}-D_1 x$ 为高斯域 $K=\Q(\sqrt{-1})$ 上的椭圆曲线，$D_1 =\pi_{1} ... \pi_{n}$ 或 $D_1 =\pi_{1} ^{2}... \pi_{r} ^{2} \pi_{r+1} ... \pi_{n}$，其中 $\pi_{1}, ..., \pi_{n}$ 为 $K$ 中互异素元。给出了用 Weierstrass $\wp-$函数表达的附于此类曲线的 Hecke $L-$级数特殊值公式；得到了这些 Hecke $L-$级数值的 2-adic 赋值的下界以及达到该界的判别准则。此外，设 $E_{2}: y^{2}=x^{3}-2^{4}3^{3}D_2^{2}$ 为二次域 $\Q(\sqrt{-3})$ 上的椭圆曲线，$D_2 =\pi_{1} ... \pi_{n},$ 其中 $\pi_{1}, ..., \pi_{n}$ 为 $\Q(\sqrt{-3})$ 的互异素元，也得到了与上述类似但针对 $3-adic$ 赋值的结果。这些结果与 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的预言一致，并发展了近期文献中更特殊情况及针对 $2-adic$ 赋值的一些结果。