艾森斯坦级数与半经典对应的失效

我们考虑模曲面 $PSL(2,\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$ 上与非稳定 horocycle 相关的某些拉格朗日态，并证明在足够大的对数时间内，波传播态的期望值偏离了沿测地线的经典输运。这是因为这些态在对数时间内“非常迅速地逃逸到尖点”，而测地流继续在曲面上等分布。证明关键依赖于 Luo-Sarnak 与 Jakobson 所开创的艾森斯坦级数的期望值分析，其基础是相关 $L$-函数的次凸性估计——换言之，这是一个非常特殊的情形，其中我们可以借助算术工具显式地分析长时间传播。