偏序集上的特征剥离、谱衰减与边扩张

我们研究偏序集（posets）的底层结构与其高阶随机游走的谱性质和组合性质之间的关系。尽管超图上的随机游走快速混合在过去五年中带来了理论计算机科学中无数的突破，但许多其他重要应用（如局部可测试码、2-2博弈）依赖于更一般非单纯结构。这些工作清楚地表明，偏序集的全局扩张性质强烈依赖于其底层架构（如单纯、立方、线性代数），但整体现象仍知之甚少。本工作中，我们量化了不同架构的优势，重点阐明结构规律性如何控制相应随机游走的谱衰减与边扩张。特别地，我们证明扩张偏序集（Dikstein, Dinur, Filmus, Harsha RANDOM 2018）上随机游走的特征值谱集中在由偏序集规律性控制的少数近似特征值周围的条带中。这给出了识别具有快速（指数）特征值衰减架构（如Grassmann）与具有缓慢（线性）衰减架构（如超图）的简单条件——这一关键区别在近似硬度和一致性测试等应用中至关重要，例如最近的2-2博弈猜想证明（Khot, Minzer, Safra FOCS 2018）。我们证明这些结果导出了偏序集上边扩张的基于方差的紧表征，推广了（Bafna, Hopkins, Kaufman, and Lovett (SODA 2022)），并特别关注Grassmann情形，证明我们的结果对Grassmann图的自然稀疏化集合是紧的。为清晰起见我们注意到，我们的结果并未恢复2-2博弈猜想证明中使用的表征，后者依赖$\ell_\infty$而非$\ell_2$结构。