基于 Schur 多项式的 Hank 矩阵 k-符号一致性高效验证

我们考虑证明(严格) $k$ 符号一致性矩阵的问题，即其所有 $k$ 阶 minors 是否共享相同(严格)符号。虽然该问题通常具有组合复杂性，但我们表明对于 Hank 矩阵可显著简化：我们的充分条件仅要求检查重塑后的 Hank 矩阵中具有 $k$ 行的 $k$ 阶 minors。令人惊讶的是，针对 Hank 算子，这一充分条件也是必要的。此前仅在(严格) $k$ 正定 Hank 矩阵和算子设置中已知，后者要求所有阶数至 $k$ 的 minors 共享相同(严格)符号。更具体地说，我们推导了公式，将 Hank 矩阵的 $k$ 阶 minors 表示为具有连续行索引的 $k$ 阶 minors 的非负整数线性组合。我们的推导使用 Schur 多项式理论表明，任何矩阵的 $k$ 阶 minors 都是具有连续行索引的 $k$ 阶 minors 的非负整数线性组合，即由来自不同列的 minors 组成，但其连续行索引在列之间无需一致。对于 Hank 矩阵，这些 minors 在符号变化(由列置换引起)下与通常的具有连续行索引的 $k$ 阶 minors 相吻合。我们的主要结果通过表明某些带符号非负整数系数的和等于相应的 Littlewood-Richardson 系数来实现。在我们的問題中，非负性系数确保负符号的列置换被正符号的置换抵消。我们的結果也自然地扩展到 Toeplitz 矩阵和算子，并为 circulant 矩阵提出部分类比。