变分 Hodge 结构的有效超越 Zilber-Pink 猜想

我们证明了支撑变分 Hodge 结构的簇上 Zilber-Pink 猜想的函数域版本。在罕见交集背景下,关于 Shimura 簇的此类结果形式如下。设 $S$ 为具有固定拟射影嵌入的连通纯 Shimura 簇。我们证明存在显式可计算的两个自然数变量的函数 $B$,使得对任意复数域扩张 $K$ 及 Hodge 泛型不可约真子簇 $X \subsetneq S_K$,$X$ 与 $X$ 中所有维数小于 $X$ 在 $S$ 中余维数的特殊子簇之并的交中的非常数点集,包含于 $X$ 的某真子簇中,该子簇的次数以 $B(\operatorname{deg}(X),\dim(X))$ 为界。我们的技术是微分代数的,并依赖 Ax-Schanuel 函数超越定理。我们利用这些结果证明与 Shimura 簇相关的微分方程给出了极小类型的新例子,有时是强极小类型,具有平凡分叉几何但非 $\aleph_0$-范畴的诱导结构。