给定非零判别数的整数多项式的有效约化理论及其应用

我们给出关于整数多项式一般有效约化理论及其应用的综述。我们集中注意力于提供给定判别数下 `$\mathbb{Z}$-等价类' 和 `$GL_2(\mathbb{Z})$-等价类' 数量有限性的结果。我们介绍了拉格朗日于1773年和 h Hermite 于1848、1851年分别针对二次和三次多项式的有效有限性结果。随后我们阐述了 Birch 和 Merriman 于1972年的一般性无效有限性结果，Gy\H{o}ry 于1973年（独立获得）和 Evertse 与 Gy\H{o}ry 于1991年的一般性有效有限性定理，以及 Hermite 于1857年的一个在2023年之前不被文献所讨论的结果。我们简要概述我们的有效证明，这些证明依赖于 Gy\H{o}ry 关于单位方程的有效结果，其证明涉及 Baker 的对数形式的有效理论。随后我们聚焦于我们与 Bhargava、Remete 和 Swaminathan 于2023年合作的论文，其中将1857年 Hermite 的涉及 `Hermite 等价类' 的有限性结果与上述现代结果（涉及 $\mathbb{Z}$-等价和 $GL_2(\mathbb{Z})$-等价）进行比较，并确认1857年 Hermite 的结果在实际意义上远弱于现代结果。 Gy\H{o}ry 于1973年和 Evertse 与 Gy\H{o}ry 于1991年的成果共同建立了整数判别数为非零的约化理论，这在单域和数域的 monogenic 域的1970年代的有效有限性定理方面具有重要意义和应用，我们在本文中对此进行概述。我们还概述了给定域出现为 monogenic 或 rationally monogenic 的次数的上界。在附录中我们讨论与整数多项式约化理论严格不相关的主题。