凸多边形翻转图的离心率

凸多边形 $\pi$ 的翻转图是以 $\pi$ 的三角剖分为顶点、以它们之间的翻转为边的图。$\pi$ 的三角剖分 $T$ 的离心率是在该图中从 $T$ 到 $\pi$ 的任意三角剖分的最大可能距离。众所周知，当 $T$ 的所有 $n-3$ 条内部边均关联于同一顶点时，$T$ 在 $\pi$ 的翻转图中的离心率恰好为 $n-3$，其中 $n$ 表示 $\pi$ 的顶点数。本文将该结论推广至任意三角剖分。记 $n-3-k$ 为 $T$ 中关联于某一顶点的内部边数的最大值，证明了当 $k\leq{n/2-2}$ 时，$T$ 在 $\pi$ 的翻转图中的离心率恰好为 $n-3+k$。反之，当三角剖分的离心率足够小时，可以恢复 $k$ 的值。更确切地说，若 $k\leq{n/8-5/2}$，进一步证明了 $T$ 的离心率为 $n-3+k$ 当且仅当其恰好有 $n-3-k$ 条内部边关联于某一给定顶点。当 $k>n/2-2$ 时，本文还给出并讨论了 $T$ 的离心率的界。