三维空间中二维格空间上的动力学

我们研究 $SL_3(\mathbb{R})$ 及其子群在齐性空间 $X$ 上的动力学，该空间由 $\mathbb{R}^3$ 中秩为 2 的离散子群的相似类构成。我们重点关注作用群在 $SL_3(\mathbb{R})$ 或 $SO(2,1)(\mathbb{R})$ 中 Zariski 稠密的情形。利用 Benoist 和 Quint 的技巧，我们证明：对于 $SL_3(\mathbb{R})$ 上具有紧支撑的概率测度 $\mu$，若其支撑生成的群在 $SL_3(\mathbb{R})$ 中 Zariski 稠密，则在 $X$ 上存在唯一的 $\mu$-平稳概率测度。当 Zariski 闭包为 $SO(2,1)(\mathbb{R})$ 时，我们建立了关于平稳测度的某种二分性，并发现了一个令人惊讶的现象：Poisson 边界可以嵌入到 $X$ 中。该嵌入具有代数性质，并引出了许多自然的开放问题。此外，我们还讨论了在数的几何中具有启发性的应用。