动力学的刘维尔方程

本文旨在分析与刘维尔量子引力自然相关的随机偏微分方程（SPDE）。该 SPDE 与所谓的正弦-戈登方程有某些共同特征，并且被构造为保持最近由 David-Kupiainen-Rhodes-Vargas 在二维球面 $S^2$ 和环面 $T^2$ 上构造的刘维尔测度。我们将关注的 SPDE 具有以下（简化）形式：$$p_t X = \frac 1 {4\pi} \Delta X - e^{\gamma X} + \xi\,,$$ 其中 $\xi$ 是 $R_+ \times S^2$ 或 $R_+ \times T^2$ 上的时空白噪声。将此奇异随机 SPDE 与最近研究的著名 SPDE（KPZ、动力学 $\Phi^4_3$、动力学正弦-戈登等）区分开的主要方面是间歇性的存在。描绘此效应的一种方式是，朴素的重标度论证表明上述 SPDE 对所有 $\gamma>0$ 都是次临界的，而我们不期望在 $\gamma > 2$ 时解存在。在这项工作中，我们通过分析人们可能称之为“经典”或“Da Prato-Debussche”相来启动对该间歇性 SPDE 的研究，这在此对应于 $\gamma\in[0,\gamma_{dPD}=2\sqrt{2} -\sqrt{6})$。通过利用非线性项 $e^{\gamma X}$ 的正性，我们可以进一步推进此经典阈值，并在 $\gamma\in[\gamma_{dPD}, \gamma_{pos}=2\sqrt{2} - 2)$ 时以此方式获得较弱的解概念。我们的证明需要对自然时空高斯乘性混沌（GMC）测度的 Besov 正则性进行分析。任意高阶的正则结构潜在地应能提供直到相同阈值 $\gamma_{pos}$ 的强解，且不应进一步推进该阈值。作为独立兴趣，我们沿路（使用 [HS16] 中的技术）证明了近似 GMC 测度在 Besov 空间中成立的更强收敛结果。