含混合导数及 sine-Gordon 方程的双曲型随机偏微分方程数值解

我们研究具有混合导数、带加性时空高斯白噪声的线性和非线性双曲型随机偏微分方程，其形式为 $Y_{xt}=F(Y) + \sigma W_{xt}$。这类方程可转化为线性和非线性波动方程，包括 Klein-Gordon 方程、Liouville 方程和 sine-Gordon 方程，并与 Zimmerman (1972) 所称的扩散方程相关。在确定性和随机性算例中均采用了一种显式数值格式。通过与确定性方程的已知精确解析解对比，检验了该格式的精度。在 $F=0$ 的随机情形下，解给出了布朗单的样本路径，其统计量与精确值吻合良好。边界条件通常选为四分之一平面或其子集上的初值 $Y(x,0)$ 和边值 $Y(0,t)$，已有研究表明这能保证解的存在唯一性。对于线性情形，在不同网格尺寸下比较了解，并在非零初边值条件下发现了波状解，无论有无噪声。令人惊讶的是，在零初边值条件且仅有纯噪声源项而无信号的情况下，似乎也涌现出波状结构。所考虑的非线性 $F$ 方程包括二次、三次非线性项以及 sine-Gordon 方程。对于后者，当 $\sigma \le 0.25$ 时波状结构明显，但在更大的 $\sigma$ 值下趋于破碎。本文简要回顾了先前关于随机 sine-Gordon 方程的工作。