Dyadic 集、极大函数及其在 $ax+b$ 群上的应用

设 $S$ 为李群 $\mathrm{R}^n\ltimes \mathrm{R}^+$，赋予左不变黎曼对称空间结构和右哈尔测度 $\rho$，这是一个指数增长的李群。Hebisch 和 Steger 在 [Math. Z. 245(2003), 37--61] 中证明了 $(S,\rho)$ 上的任何可积函数都允许一个涉及特定集合族（称为 Calderón–Zygmund 集）的 Calderón–Zygmund 分解。本文首先证明了群 $S$ 中存在一个 dyadic 网格，它具有类似于经典欧几里得 dyadic 立方体的优良性质。利用 dyadic 网格的性质，我们将证明一个 Fefferman–Stein 型不等式，其中涉及 dyadic Hardy–Littlewood 极大函数和 dyadic 锐化函数。作为推论，我们得到了一个涉及 Hardy 空间 $H^1$ 和 $BMO$ 空间的复插值定理，该 $BMO$ 空间在 [Collect. Math. 60(2009), 277--295] 中引入。