甜品上的对决：掌握重复切蛋糕的艺术

我们考虑两个玩家（记为 Alice 和 Bob）之间对蛋糕具有私人估值的重复公平分配设定。在每一轮中，一块与之前各轮相同的蛋糕到来。Alice 在其选择的点切开蛋糕，而 Bob 选择左块或右块，将剩余部分留给 Alice。我们考虑两个版本：序贯版本，即 Bob 在选择左/右之前观察 Alice 的切点；以及同时版本，即他仅在选择之后才观察她的切点。同时版本由 Aumann 和 Maschler (1995) 首先考虑。我们观察到，如果 Bob 几乎是近视的且过于频繁地选择其偏好的块，那么 Alice 可以通过类似于二分搜索的策略系统地利用他。该策略使 Alice 能够以越来越高的精度逼近 Bob 的偏好，从而随着时间推移获取不成比例的资源份额。我们分析了一个玩家可利用另一玩家的程度极限，并表明公平的效用组合实际上是可实现的。具体而言，玩家可以在每条博弈轨迹的极限上强制实现 $(1/2, 1/2)$ 的公平效用组合，其方式是在保持对方玩家平均效用约为 $1/2$ 的同时，保证自身平均获得至少约 $1/2$。我们利用与 Blackwell 可逼近性的联系证明了该定理。最后，我们分析了一种被称为虚拟博弈的自然动力学，其中玩家对另一玩家的经验分布作出最优响应。我们证明，虚拟博弈以 $O(1/\sqrt{T})$ 的速率收敛至 $(1/2, 1/2)$ 的公平效用组合。