重复重心细分的对偶图与修正的Barlow--Bass电阻估计

我们证明了与三角形重复重心细分相关的两个随机游走的 Barlow--Bass 型电阻估计。如果随机游走在细分中具有公共边的三角形中心之间跳跃，则电阻按常数 $\rho$ 的幂缩放，理论估计 $\rho$ 在区间 $5/4\leqslant\rho\leqslant3/2$ 内，数值估计 $\rho\approx1.306$。这对应于谱维数 $d_S$ 在 1.63 和 1.77 之间的理论估计，数值估计 $d_S\approx1.74$。另一方面，如果随机游走在细分中三角形的角之间跳跃，则电阻按常数 $\rho^T=1/\rho$ 的幂缩放，理论估计其在区间 $2/3\leqslant\rho^T\leqslant4/5$ 内。这对应于谱维数在 2.28 和 2.38 之间。$\rho$ 与 $\rho^T$ 的差异意味着重复重心细分上随机游走的极限行为比广义谢尔宾斯基地毯上的更微妙，并为进一步研究提出了有趣的可能性，包括自相似狄利克雷形式的可能非唯一性。