对偶 Cheeger 常数、无符号 1-Laplacian 与 Maxcut
谱理论
2025-01-22 v2 组合数学
最优化与控制
摘要
Maxcut 问题最坏情况近似比的第一个非平凡下界是通过对偶 Cheeger 问题实现的，其最优值称为对偶 Cheeger 常数 ，后来通过其修正 得到改进。然而，对偶 Cheeger 问题及其修正本身相对未被探索，尤其缺乏有效的近似算法。为此，我们首先在无符号 1-Laplacian 的非线性谱理论框架内推导出 和 的等价谱形式，展示它们与 Laplacian 矩阵和 1-Laplacian 的相互作用，然后利用它们开发了一种利用所涉及目标函数局部线性的逆幂算法。我们证明了逆幂算法单调收敛到一个三值特征向量，并首次提供了 和 在 G-set 上的近似值。通过集成逆幂算法，可以增强用于 Maxcut 问题的递归谱割算法，从而在 G-set 上得到显著改进的近似值。最后，我们证明了在递归谱割框架内，Maxcut 问题最坏情况近似比的下界无法改进超过 。
引用
@article{arxiv.1607.00489,
title = {Dual Cheeger Constants, Signless 1-Laplacians and Maxcut},
author = {Sihong Shao and Chuan Yang and Dong Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1607.00489},
year = {2025}
}
备注
Accepted by SCIENCE CHINA Mathematics on January 13, 2025