Hermitian 拉普拉斯算子与 Max-2-Lin 问题的 Cheeger 不等式

我们研究 MAX-2-LIN(k) 问题的谱方法，其中给定一个由 $m$ 个形如 $x_i - x_j \equiv c_{ij}\mod k$ 的线性方程组成的系统，需要为 $n$ 个变量 $\{x_i\}$ 寻找一个赋值以最大化满足的方程总数。我们考虑与该问题相关的 Hermitian 拉普拉斯算子，并证明了一个 Cheeger 不等式，将 Hermitian 拉普拉斯算子的最小特征值与 MAX-2-LIN(k) 实例 $\mathcal{I}$ 的最大满足方程数联系起来。我们开发了一个 $\widetilde{O}(kn^2)$ 时间的算法，对于任意 $(1-\varepsilon)$-可满足实例，可生成一个满足 $\left(1 - O(k)\sqrt{\varepsilon}\right)$ 比例方程的赋值。我们还提出了一个次二次时间算法，当与 $\mathcal{I}$ 关联的图是扩张图时，可生成一个满足 $\left(1- O(k^2)\varepsilon \right)$ 比例方程的赋值。我们的 Cheeger 不等式及首个算法可视为 Trevisan 所发展的 MAX-CUT 的 Cheeger 不等式与算法的推广。