Koszul 代数的 Drinfeld 扭曲

给定 Hopf 代数 $H$ 及其上的余单位 $2$-上循环 $\mu$，Drinfeld 引入了扭曲的概念，将 $H$-模代数 $A$ 形变为新的代数 $A_\mu$。我们证明当 $A$ 为二次代数，且 $H$ 通过保次自同态作用于 $A$ 时，扭曲 $A_\mu$ 亦为二次代数。进一步，若 $A$ 为 Koszul 代数，则 $A_\mu$ 也是 Koszul 代数。作为一个应用，我们证明由量子包络代数 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的拟三角结构对 $q$-量子平面所作的扭曲是一个等于 $q^{-1}$-量子平面的二次代数。