一族含参数的离散分布混合椭圆最优控制问题的双重收敛性

考虑 $\mathbb{R}^{n}$ 中有界区域 $\Omega$，其正则边界 $\partial\Omega$ 由两个不相交部分 $\Gamma_{1}$ 和 $\Gamma_{2}$ 的并组成，且 $meas(\Gamma_{1})>0$。Gariboldi-Tarzia (Appl. Math. Optim., 2003) 研究了由椭圆变分等式(EVE)支配的一族连续分布混合椭圆最优控制问题(DMEOCPs) $P_{\alpha}$ 在参数 $\alpha$ 趋于无穷时的收敛性。已证明最优控制(OC)及其相应的系统和对偶系统状态(SASSs)在适当的函数空间中强收敛于另一受EVE支配且在 $\Gamma_{1}$ 上具有不同边界条件的CDMEOCP $P$ 的OC和SASSs。我们分别通过带参数 $h$ 的有限元方法，对每个 $h>0$ 和 $\alpha>0$ 考虑OCPs $P_{\alpha}$ 和 $P$ 的离散逼近 $P_{h\alpha}$ 和 $P_{h}$。我们还离散化了定义SASSs的EVEs，以及DMEOCPs $P_{\alpha}$ 和 $P$ 的相应代价泛函。目标是研究当 $\alpha\to +\infty$ 与 $h\to 0$ 同时发生时，这族离散DMEOCPs $P_{h\alpha}$ 的双重收敛性。我们证明了对于每个 $h>0$，当 $\alpha\to +\infty$ 时，族 $P_{h\alpha}$ 的离散OC、离散SASSs收敛于离散DMEOCP $P_{h}$ 的对应量。我们研究了当 $h\to 0$ 时离散OCPs $P_{h\alpha}$ 和 $P_{h}$ 的收敛性，获得了交换图，该图通过分别取极限 $h\to 0$ 和 $\alpha\to +\infty$ 将连续与离散DMEOCPs $P_{h\alpha}$、$P_{h}$、$P_{\alpha}$ 和 $P$ 联系起来。我们还研究了当 $(h,\alpha)\to (0,+\infty)$ 时 $P_{h\alpha}$ 到 $P$ 的双重收敛性。