离散与连续 Neumann 边界最优控制问题之间的交换图

我们考虑一个有界域 D，其正则边界由两部分 F1 和 F2 的并集组成。Gariboldi 和 Tarzia (Adv. Diff. Eq. Control Processes, 1 (2008), 113-132) 研究了由椭圆变分等式支配的一族连续 Neumann 边界混合椭圆最优控制问题 (Pa) 当族参数 a 趋于无穷大时的收敛性，其中控制变量为边界 F2 上的热通量。已证明最优控制问题 (Pa) 强收敛于另一个最优控制 (P)，后者也由椭圆变分等式支配，但在边界部分 F1 上具有不同的边界条件。对于每个 h>0, a>0，我们通过带有参数 h（三角形最长边）的 1 型 Lagrange 三角形的有限元方法，分别考虑最优控制问题 (Pa) 和 (P) 的离散近似 (Pha) 和 (Ph)。我们还离散化了定义系统及其伴随系统状态的椭圆变分等式，以及 Neumann 边界最优控制问题 (Pa) 和 (P) 相应的代价泛函。本文的目标是研究当参数 a 趋于无穷大时，这族离散 Neumann 边界混合椭圆最优控制问题 (Pha) 的收敛性。我们证明了对于每个 h>0，在适当的函数空间中，当 a 趋于无穷大时，族 (Pha) 的离散最优控制、离散系统及伴随系统状态收敛于对应的离散 Neumann 边界混合椭圆最优控制问题 (Ph) 的相应量。我们还研究了当 h 趋于零时的收敛性，并通过分别取 h 趋于零和 a 趋于无穷的极限，得到了一个交换图，该图关联了连续与离散 Neumann 边界混合椭圆最优控制问题 (Pha)、(Pa)、(Ph) 和 (P)。