求解具有初始奇异性的抛物型方程是否需要保衰减误差估计？

表现出弱初始奇异性的解出现在各种方程中，包括扩散和次扩散方程。当使用著名的 L1 格式求解具有弱奇异性的次扩散方程时，数值模拟显示该格式针对不同模型参数（即域大小、最终时间 $T$ 和反应系数 $\kappa$）的选择表现出不同的收敛速率。这种难以捉摸的现象并非 L1 格式独有，在其他用于反应扩散方程的数值方法中也观察到了，例如向后 Euler (IE) 格式、Crank-Nicolson (C-N) 格式和两步向后微分公式 (BDF2) 格式。现有文献缺乏对存在两种不同收敛机制的解释，这长期困扰着我们，并促使我们研究标准收敛理论与数值经验之间的这种不一致性。在本文中，我们提供了一种通用方法，系统地获得包含解指数衰减特征的误差估计。我们将这种新颖的误差估计称为“保衰减误差估计”，并将其应用于上述 IE、C-N 和 BDF2 格式。我们的保衰减误差估计由一个具有指数系数的低阶项和一个具有代数系数的高阶项组成，两者均依赖于模型参数。我们的估计表明，变化的收敛速率是由不同模型参数机制中这两个分量之间的权衡引起的。通过考虑模型参数，我们捕捉到了传统误差估计无法解释的不同收敛速率状态。这种方法保留了连续解的更多属性。我们用数值结果验证了我们的分析。