平方和梦见自由分解吗？

我们为实射影簇 $X$ 关联了两个在实代数几何中具有基础性的凸锥：在 $X$ 上非负的二次型锥 $P_X$，以及线性形式的平方和锥 $Sigma_X$。对偶锥 $Sigma_X^*$ 是一个谱面体，我们表明其凸性质与 $X$ 的同调性质密切相关。例如，我们证明 $Sigma_X^*$ 的所有极射线秩为一当且仅当 $X$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则度为二。更一般地，若 $Sigma_X^*$ 存在秩为 $p > 1$ 的极射线，则 $X$ 不满足性质 $N_{2,p}$。我们证明逆命题在许多情形下亦成立：性质 $N_{2,p}$ 不成立的最小 $p$ 等于 $Sigma_X^*$ 中大于一的最小极射线秩。这些结果使我们能将 Blekherman-Smith-Velasco 关于非负多项式与平方和相等的工作从不可约簇推广到既约概形，并对所有仅含秩一极射线的谱面体锥进行分类。我们的结果可应用于半正定矩阵补全问题及射影簇上的截断矩问题。