除法代数、超对称与高阶规范理论

从四种赋范除法代数——实数、复数、四元数和八元数，其维数分别为 k=1, 2, 4 和 8——通过一个系统化程序，可在 k+2=3, 4, 6 和 10 维的庞加莱超代数上给出一个 3-上循环，并在 k+3=4, 5, 7 和 11 维的庞加莱超代数上给出一个 4-上循环。这些上循环的存在源于仅在这些维数中成立的旋量恒等式，且与 k+2 维中超弦以及 k+3 维中超 2-膜的存在密切相关。一般而言，李超代数上的一个 (n+1)-上循环会产生一个“李 n-超代数”：粗略地说，即一个 n 项链复形，配备一个满足李超代数公理直至链同伦的括号。我们由此得到在 k+2 维中扩张庞加莱超代数的李 2-超代数，以及在 k+3 维中扩张庞加莱超代数的李 3-超代数。基于 Sati、Schreiber 和 Stasheff 的工作，我们提出证据表明这些李 n-超代数描述了超弦和 2-膜的无穷小“高阶对称性”。一般地，将李 n-超代数积分得到李 n-超群会产生一个极其无限维的“李 n-超群”。然而，当李 n-超代数由一个幂零李超代数上的 (n+1)-上循环得到时，存在一种几何程序将该上循环积分到相应幂零李超群上的上循环。一般地，超群上的一个光滑 (n+1)-上循环会产生一个“李 n-超群”：即超流形内部的一个弱 n-群。利用我们的几何程序积分 k+2 维中的 3-上循环，我们得到在这些维数中扩张庞加莱超群的李 2-超群；类似地积分 k+3 维中的 4-上循环，我们得到在这些维数中扩张庞加莱超群的李 3-超群。