二项式 Weil 和的整除性

考虑 Weil 和 $W_{F,d}(u)=\sum_{x \in F} \psi(x^d+u x)$，其中 $F$ 是特征为 $p$ 的有限域，$\psi$ 是 $F$ 的标准加法特征标，$d$ 与 $|F^*|$ 互素，且 $u \in F^*$。当 $u$ 遍历 $F^*$ 时，若 $W_{F,d}(u)$ 恰好取三个不同的值，则称其为三值的：这是非退化情形下不同取值的最小个数，而三值的 $W_{F,d}$ 既罕见又令人向往。当 $W_{F,d}$ 为三值时，我们给出了其值的 $p$-进赋值的一个下界。这使得我们能够证明 Helleseth 于 1976 年提出的猜想在特征 $3$ 时的情形：当 $p=3$ 且 $[F:{\mathbb F}_3]$ 为 $2$ 的幂时，我们证明了 $W_{F,d}$ 不可能是三值的。