大维数原始格点分布的分析

我们研究在维数 d 趋向无穷大时，对称 Borel 集 $S_d\subset\mathbb R^d$ 中原始格点的分布的渐近行为，在 $S_d$ 上的 certain volume 条件下。我们的主要技术涉及探索原始 Siegel 变换的更高矩公式。我们首先演示，如果 $S_d$ 的体积对所有 $d\in \mathbb N$ 保持不变，则 $S_d$ 中原始格点数的一半的分布在分布上收敛到均值为 $\frac 1 2$ 的泊松分布。 Furthermore, if the volume of $S_d$ goes to infinity subexponentially as $d$ approaches infinity, the normalized distribution of the half the number of primitive lattice points in $S_d$ converges, in distribution, to the normal distribution $\mathcal N(0,1)$. 我们也将这些结果扩展到随机过程的情境。这项工作受到 Rogers (1955)、S"odergren (2011) 和 Str"ombergsson and S"odergren (2019) 的贡献的启发。